Apollonian Gasket je typ fraktálního obrazu, který je vytvořen ze sbírky stále se zmenšujících kruhů obsažených v jednom velkém kruhu. Každý kruh v Apollonian Gasket je tečný k sousedním kruhům - jinými slovy, kruhy v Apollonian Gasket navazují kontakt v nekonečně malých bodech. Pojmenovaný po řeckém matematikovi Apolloniovi z Pergy, tento typ fraktálu lze kreslit (rukou nebo počítačem) na přiměřenou míru složitosti a vytvářet krásný a působivý obraz. Začněte viz krok 1 níže.
Kroky
Část 1 ze 2: Porozumět klíčovým pojmům
Aby bylo zcela jasné, pokud vás prostě zajímá kresba Apollonian Gasket, není nutné zkoumat matematické principy za fraktálem. Pokud však chcete hlubší porozumění Apollonian Gaskets, je důležité porozumět definicím několika konceptů, které použijeme při jejich diskusi.
Krok 1. Definujte klíčové pojmy
V níže uvedených pokynech jsou použity následující termíny:
- Apollonian Gasket: Jedno z několika názvů pro typ fraktálu složeného ze série kruhů vnořených do jednoho velkého kruhu a dotýkajících se všech ostatních v okolí. Říká se jim také „Soddy Circles“nebo „Kissing Circles“.
- Rádius kruhu: Vzdálenost od středového bodu kruhu k jeho okraji. Obvykle je přiřazena proměnná r.
- Zakřivení kruhu: Pozitivní nebo negativní inverzní poloměr nebo ± 1/r. Zakřivení je kladné při řešení vnějšího zakřivení kruhu a záporné pro vnitřní zakřivení.
- Tangenta: Termín aplikovaný na přímky, roviny a tvary, které se protínají v jednom nekonečně malém bodě. V Apollonian Gaskets to znamená skutečnost, že každý kruh se dotýká každého blízkého kruhu pouze v jednom bodě. Všimněte si, že neexistuje žádný průsečík - tečné tvary se nepřekrývají.
Krok 2. Pochopte Descartovu větu
Descartesova věta je vzorec, který je užitečný pro výpočet velikostí kruhů v Apollonian Gasket. Pokud definujeme zakřivení (1/r) jakýchkoli tří kruhů jako a, b, a c, věta uvádí, že zakřivení kruhu (nebo kruhů) tečné ke všem třem, které definujeme jako d, je: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Pro naše účely obecně použijeme pouze odpověď, kterou získáme tak, že před odmocninu dáme znaménko plus (jinými slovy… + 2 (sqrt (…)). Prozatím stačí vědět, že odčítání forma rovnice má své využití v dalších souvisejících úkolech
Část 2 ze 2: Konstrukce Apollonian Gasket
Apollonské těsnění má podobu krásných fraktálních uspořádání zmenšujících se kruhů. Matematicky mají Apollonian Těsnění nekonečnou složitost, ale ať už používáte počítačový kreslící program nebo tradiční kreslící nástroje, nakonec dosáhnete bodu, ve kterém už není možné kreslit kruhy menší. Všimněte si, že čím přesněji nakreslíte své kruhy, tím více se vám do těsnění vejde.
Krok 1. Shromážděte své digitální nebo analogové kreslicí nástroje
V níže uvedených krocích si vyrobíme vlastní jednoduché apollonské těsnění. Apollonian Gaskets je možné kreslit ručně nebo na počítači. V obou případech budete chtít umět kreslit dokonale kulaté kruhy. To je docela důležité. Protože každý kruh v Apollonian Gasket je dokonale tečný k kruhům vedle něj, kruhy, které jsou dokonce i mírně deformované, mohou „odhodit“váš konečný produkt.
- Pokud kreslíte těsnění na počítači, budete potřebovat program, který vám umožní snadno kreslit kruhy s pevným poloměrem z centrálního bodu. Lze použít Gfig, rozšíření pro vektorové kreslení pro bezplatný program pro úpravu obrázků GIMP, stejně jako celou řadu dalších kreslících programů (příslušné odkazy najdete v sekci materiály). Budete také pravděpodobně potřebovat aplikaci kalkulačky a buď textový procesor, nebo fyzický poznámkový blok pro vytváření poznámek o zakřiveních a poloměrech.
- K ručnímu kreslení těsnění budete potřebovat kalkulačku (doporučenou vědeckou nebo grafickou), tužku, kompas, pravítko (nejlépe měřítko s milimetrovými značkami, milimetrový papír a poznámkový blok na psaní poznámek.
Krok 2. Začněte jedním velkým kruhem
Váš první úkol je snadný - nakreslete jeden velký, dokonale kulatý kruh. Čím větší je kruh, tím složitější může být vaše těsnění, zkuste tedy vytvořit kruh tak velký, jak dovoluje váš papír, nebo tak velký, jak snadno uvidíte v jednom okně kreslicího programu.
Krok 3. Vytvořte menší kruh uvnitř originálu, tečný k jedné straně
Dále nakreslete do prvního kruhu další, který je menší než původní, ale stále poměrně velký. Přesná velikost druhého kruhu je na vás - správná velikost neexistuje. Pro naše účely však nakreslíme náš druhý kruh tak, aby sahal přesně do poloviny našeho velkého vnějšího kruhu. Jinými slovy, nakreslíme náš druhý kruh tak, aby jeho středový bod byl středem poloměru velkého kruhu.
Pamatujte, že v Apollonian Gaskets jsou všechny kruhy, kterých se dotýkají, navzájem tečné. Používáte -li kompas k ručnímu kreslení kruhů, obnovte tento efekt umístěním ostrého bodu kompasu do středu poloměru velkého vnějšího kruhu a upravte tužku tak, aby se dotýkala pouze okraje velkého kruhu, pak nakreslete svůj menší vnitřní kruh
Krok 4. Nakreslete stejný kruh „napříč“od menšího vnitřního kruhu
Dále nakreslíme další kruh naproti našemu prvnímu. Tento kruh by měl být tečný jak k velkému vnějšímu kruhu, tak k menšímu vnitřnímu kruhu, což znamená, že se vaše dva vnitřní kruhy dotýkají přesně ve středu velkého vnějšího kruhu.
Krok 5. Použijte Descartovu větu a zjistěte velikost svých dalších kruhů
Přestaňme na chvíli kreslit. Nyní, když máme v těsnění tři kruhy, můžeme použít Descartovu větu k nalezení poloměru dalšího kruhu, který nakreslíme. Pamatujte, že Descartova věta je d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), kde a, b, a c jsou zakřivení vašich tří tečných kruhů ad je zakřivení kružnice tečné ke všem třem. Abychom tedy našli poloměr našeho dalšího kruhu, najděme zakřivení každého z kruhů, které zatím máme, abychom mohli najít zakřivení dalšího kruhu, a poté jej převeďte na jeho poloměr.
-
Pojďme definovat poloměr našeho vnějšího kruhu jako
Krok 1.. Protože ostatní kruhy jsou uvnitř tohoto, zabýváme se jeho vnitřním zakřivením (spíše než jeho vnějším zakřivením), a v důsledku toho víme, že jeho zakřivení je negativní. -1/r = -1/1 = -1. Zakřivení velkého kruhu je - 1.
-
Poloměry menších kruhů jsou poloviční než u velkých kruhů, nebo jinými slovy, 1/2. Protože se tyto kruhy dotýkají navzájem a velkého kruhu vnější hranou, zabýváme se jejich vnějším zakřivením, takže jejich zakřivení jsou kladná. 1/(1/2) = 2. Zakřivení menších kruhů je obojí
Krok 2..
-
Nyní víme, že a = -1, b = 2, a c = 2 pro rovnici naší Descartovy věty. Pojďme vyřešit pro d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Zakřivení našeho dalšího kruhu je
Krok 3.. Protože 3 = 1/r, poloměr našeho dalšího kruhu je 1/3.
Krok 6. Vytvořte další sadu kruhů
Pomocí hodnoty poloměru nakreslete další dva kruhy. Pamatujte, že tyto budou tečné ke kruhům, jejichž zakřivení jste použili pro a, b, a c v Descartově větě. Jinými slovy, budou tečné k původnímu i druhému kruhu. Aby byly tyto kruhy tečné ke všem třem kruhům, budete je muset nakreslit do otevřených prostor v horní a dolní části oblasti uvnitř velkého původního kruhu.
Poloměry těchto kruhů se budou rovnat 1/3. Změřte 1/3 zpět od okraje vnějšího kruhu a poté nakreslete nový kruh. Měla by být tečná ke všem třem okolním kruhům
Krok 7. Pokračujte tímto způsobem a pokračujte v přidávání kruhů
Protože jsou to fraktály, jsou apollonská těsnění nekonečně složitá. To znamená, že můžete k obsahu svého srdce přidávat stále menší kruhy. Omezena je pouze přesnost nástrojů (nebo, pokud používáte počítač, schopnost kreslícího programu „přiblížit“). Každý kruh, bez ohledu na to, jak malý, by měl být tečný ke třem dalším kruhům. Chcete -li nakreslit každý následující kruh do svého těsnění, zapojte zakřivení tří kruhů, kterých se bude dotýkat, do Descartovy věty. Poté pomocí své odpovědi (což bude poloměr vašeho nového kruhu) nakreslete nový kruh přesně.
- Všimněte si, že těsnění, které jsme se rozhodli nakreslit, je symetrické, takže poloměr jednoho kruhu je stejný jako odpovídající kruh „napříč“. Vězte však, že ne každé Apollonian Gasket je symetrické.
-
Pojďme řešit ještě jeden příklad. Řekněme, že po nakreslení naší poslední sady kruhů nyní chceme nakreslit kruhy, které se dotýkají naší třetí sady, naší druhé sady a našeho velkého vnějšího kruhu. Zakřivení těchto kruhů jsou 3, 2 a -1. Pojďme připojit tato čísla do Descartovy věty, nastavení a = -1, b = 2, a c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Máme dvě odpovědi! Protože však víme, že náš nový kruh bude menší než kterýkoli z kruhů, kterých se dotýká, pouze zakřivení
Krok 6. (a tedy poloměr 1/6) dává smysl.
- Naše další odpověď, 2, ve skutečnosti odkazuje na hypotetický kruh na druhé straně tečného bodu našeho druhého a třetího kruhu. Tento kruh je tečná k oběma těmto kruhům a k velkému vnějšímu kruhu, ale to by protínalo kruhy, které jsme již nakreslili, takže to můžeme ignorovat.
Krok 8. Pokud jde o výzvu, zkuste vyrobit nesymetrické apollonské těsnění změnou velikosti druhého kruhu
Všechna Apollonian Těsnění začínají stejně - s velkým vnějším kruhem, který působí jako hrana fraktálu. Neexistuje však žádný důvod, aby váš druhý kruh nutně musel mít 1/2 poloměru prvního - rozhodli jsme se to udělat výše, protože je to jednoduché a snadno pochopitelné. Pro zábavu zkuste spustit nové těsnění s druhým kruhem jiné velikosti - to povede ke vzrušujícím novým cestám zkoumání.
