Parabola je graf kvadratické funkce a je to hladká křivka ve tvaru „U“. Paraboly jsou také symetrické, což znamená, že je lze skládat podél čáry tak, aby se všechny body na jedné straně linie přehybu shodovaly s odpovídajícími body na druhé straně linie přehybu. Ohybová čára, nazývaná osa symetrie, je svislá čára, která prochází verexem. Jakýkoli bod na parabole je ve stejné vzdálenosti od pevného bodu (zaostření) a pevné přímky (přímka). Abyste mohli vykreslit parabolu, musíte najít její vrchol a několik bodů na obou stranách vrcholu, abyste mohli označit cestu, kterou body cestují.
Kroky
Část 1 ze 2: Grafování paraboly
Krok 1. Pochopte části paraboly
Před začátkem vám mohou být poskytnuty určité informace a znalost terminologie vám pomůže vyhnout se zbytečným krokům. Zde jsou části paraboly, které potřebujete vědět:
- Soustředění. Pevný bod uvnitř paraboly, který se používá pro formální definici křivky.
- Direktrix. Pevná přímka. Parabola je lokus (řada) bodů, ve kterých je daný bod ve stejné vzdálenosti od ohniska a přímky. (Viz diagram výše.)
- Osa symetrie. Jedná se o přímku, která prochází bodem obratu („vrcholem“) paraboly a je ve stejné vzdálenosti od odpovídajících bodů na dvou ramenech paraboly.
- Vrchol. Bod, kde osa symetrie protíná parabolu, se nazývá vrchol paraboly. Pokud se parabola otevírá směrem nahoru nebo doprava, vrchol je minimálním bodem křivky. Pokud se otevírá směrem dolů nebo doleva, vrchol je maximální bod.
Krok 2. Znát rovnici paraboly
Obecná rovnice paraboly je y = ax2+ bx + c. Může být také zapsán v ještě obecnějším tvaru y = a (x - h) ² + k, ale zde se zaměříme na první tvar rovnice.
- Pokud je koeficient a v rovnici kladný, parabola se otevře nahoru (ve vertikálně orientované parabole), podobně jako písmeno „U“, a její vrchol je minimální bod. Pokud je a záporné, parabola se otevírá směrem dolů a má vrchol v maximálním bodě. Pokud máte problém si to zapamatovat, přemýšlejte o tom takto: rovnice s kladnou hodnotou vypadá jako úsměv; rovnice se zápornou hodnotou vypadá jako zamračený výraz.
- Řekněme, že máte následující rovnici: y = 2x2 -1. Tato parabola bude mít tvar „U“, protože hodnota a (2) je kladná.
- Pokud má rovnice místo čtvercového x členu y, bude parabola orientována vodorovně a otevřena do stran, doprava nebo doleva, jako „C“nebo dozadu „C“. Například parabola y2 = x + 3 se otevírá doprava, jako „C.“
Krok 3. Najděte osu symetrie
Pamatujte, že osa symetrie je přímka, která prochází bodem obratu (vrcholem) paraboly. V případě vertikální paraboly (otevírání nahoru nebo dolů) je osa stejná jako souřadnice x vrcholu, což je hodnota x bodu, kde osa symetrie protíná parabolu. K nalezení osy symetrie použijte tento vzorec: x = -b/2a.
- Ve výše uvedeném příkladu (y = 2x² -1) platí a = 2 a b = 0. Nyní můžete vypočítat osu symetrie vložením čísel: x = -0 / (2) (2) = 0.
- V tomto případě je osa symetrie x = 0 (což je osa y roviny souřadnic).
Krok 4. Najděte vrchol
Jakmile znáte osu symetrie, můžete tuto hodnotu připojit pro x, abyste získali souřadnici y. Tyto dvě souřadnice vám poskytnou vrchol paraboly. V tomto případě byste zapojili 0 až 2x2 -1 pro získání souřadnice y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Vrchol je (0, -1) a parabola protíná osu y na -1.
Souřadnice vrcholu jsou někdy známé jako (h, k). V tomto případě h je 0 a k je -1. Rovnici pro parabolu lze zapsat ve tvaru y = a (x - h) ² + k. V této podobě je vrchol bodem (h, k) a nemusíte dělat žádnou matematiku, abyste našli vrchol za správnou interpretací grafu
Krok 5. Vytvořte tabulku se zvolenými hodnotami x
Vytvořte tabulku s konkrétními hodnotami x v prvním sloupci. Tato tabulka vám poskytne souřadnice, které potřebujete k vykreslení rovnice.
- Střední hodnota x by měla být osou symetrie v případě „svislé“paraboly.
- Kvůli symetrii byste do tabulky měli zahrnout alespoň dvě hodnoty nad a pod střední hodnotu pro x.
- V tomto případě vložte hodnotu osy symetrie (x = 0) doprostřed tabulky.
Krok 6. Vypočítejte hodnoty odpovídajících souřadnic y
Nahraďte každou hodnotu x v rovnici paraboly a vypočítejte odpovídající hodnoty y. Vložte tyto vypočítané hodnoty y do tabulky. V tomto příkladu se hodnoty y vypočítají následovně:
- Pro x = -2 se y vypočítá jako: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Pro x = -1 se y vypočítá jako: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pro x = 0 se y vypočítá jako: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Pro x = 1 se y vypočítá jako: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pro x = 2 se y vypočítá jako: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Krok 7. Vložte vypočtené hodnoty y do tabulky
Nyní, když jste našli alespoň pět párů souřadnic pro parabolu, jste téměř připraveni jej vykreslit. Na základě vaší práce máte nyní následující body: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Pamatujte, že parabola se odráží (symetricky) vzhledem k ose symetrie. To znamená, že souřadnice y bodů přímo přes osu symetrie od sebe navzájem budou stejné. Souřadnice y pro souřadnice x -2 a +2 jsou 7; souřadnice y pro souřadnice x -1 a +1 jsou oba 1 atd.
Krok 8. Vykreslete body tabulky na rovinu souřadnic
Každý řádek tabulky tvoří dvojici souřadnic (x, y) v rovině souřadnic. Vytvořte graf všech bodů pomocí souřadnic uvedených v tabulce.
- Osa x je vodorovná; osa y je svislá.
- Kladná čísla na ose y jsou nad bodem (0, 0) a záporná čísla na ose y jsou pod bodem (0, 0).
- Kladná čísla na ose x jsou napravo od bodu (0, 0) a záporná čísla na ose x jsou nalevo od bodu (0, 0).
Krok 9. Spojte body
Chcete -li zobrazit graf paraboly, spojte body vykreslené v předchozím kroku. Graf v tomto příkladu bude vypadat jako U. Spojte body pomocí mírně zakřivených (nikoli přímých) čar. Tím vytvoříte nejpřesnější obraz paraboly (která je po celé délce alespoň mírně zakřivená). Pokud chcete, můžete na obou koncích paraboly nakreslit šipky směřující od vrcholu. To bude znamenat, že parabola pokračuje neomezeně dlouho.
Část 2 ze 2: Posun grafu paraboly
Pokud chcete zkratku pro posun paraboly, aniž byste museli znovu najít její vrchol a znovu na ni vykreslit několik bodů, musíte pochopit, jak číst rovnici paraboly a naučit se ji posouvat svisle nebo vodorovně. Začněte základní parabolou: y = x2. Toto má svůj vrchol v (0, 0) a otevírá se nahoru. Body na něm zahrnují (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) a (2, 4). Parabolu můžete přesouvat na základě její rovnice.
Krok 1. Posuňte parabolu nahoru
Uvažujme rovnici y = x2 +1. Tím se původní parabola posune nahoru o 1 jednotku. Vrchol je nyní (0, 1) místo (0, 0). Zachová si přesný tvar původní paraboly, ale každá souřadnice y bude posunuta nahoru o 1 jednotku. Místo (-1, 1) a (1, 1) tedy vykreslíme (-1, 2) a (1, 2).
Krok 2. Posuňte parabolu dolů
Vezměte rovnici y = x2 -1. Posouváme původní parabolu směrem dolů o 1 jednotku, takže vrchol je nyní (0, -1) místo (0, 0). Bude mít stále stejný tvar původní paraboly, ale každá souřadnice y bude posunuta dolů o 1 jednotku. Například místo (-1, 1) a (1, 1) například vykreslíme (-1, 0) a (1, 0).
Krok 3. Posuňte parabolu doleva
Zvažte rovnici y = (x + 1)2. Tím se původní parabola posune o jednu jednotku doleva. Vrchol je nyní (-1, 0) místo (0, 0). Zachovává tvar původní paraboly, ale každá souřadnice x je posunuta doleva o jednu jednotku. Místo (-1, 1) a (1, 1) například vykreslíme (-2, 1) a (0, 1).
Krok 4. Posuňte parabolu doprava
Uvažujme rovnici y = (x - 1)2. Toto je původní parabola posunutá o jednu jednotku doprava. Vrchol je nyní (1, 0) místo (0, 0). Zachovává tvar původní paraboly, ale každá souřadnice x bude posunuta na pravou jednotku. Namísto (-1, 1) a (1, 1) například vykreslíme (0, 1) a (2, 1).
