Racionální funkce je rovnice, která má tvar y = N (x)/D (x), kde N a D jsou polynomy. Pokus o ruční nakreslení přesného grafu jednoho může být komplexním přehledem mnoha nejdůležitějších témat matematiky na střední škole od základní algebry po diferenciální počet. Zvažte následující příklad: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Kroky
Krok 1. Najděte zachycení y
Jednoduše nastavte x = 0. Všechno kromě konstantních členů zmizí a zůstane y = 5/2. Vyjádření jako dvojice souřadnic (0, 5/2) je bod v grafu. Vykreslete si ten bod.
Krok 2. Najděte horizontální asymptotu
Dlouhým dělením jmenovatele na čitatele určete chování y pro velké absolutní hodnoty x. V tomto případě rozdělení ukazuje, že y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Pro velké kladné nebo záporné hodnoty x se 17/(8 x + 4) blíží nule a graf aproximuje přímku y = (1/2) x - (7/4). Graficky nakreslete tuto čáru pomocí přerušované nebo lehce nakreslené čáry.
- Pokud je stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, není třeba nic dělit a asymptota je y = 0.
- Pokud deg (N) = deg (D), asymptota je vodorovná čára v poměru hlavních koeficientů.
- Pokud deg (N) = deg (D) + 1, asymptota je čára, jejíž sklon je poměrem počátečních koeficientů.
- Pokud deg (N)> deg (D) + 1, pak pro velké hodnoty | x |, y rychle přechází do kladného nebo záporného nekonečna jako kvadratický, krychlový nebo vyšší stupeň polynomu. V tomto případě se asi nevyplatí přesně vykreslit kvocient dělení.
Krok 3. Najděte nuly
Racionální funkce má nulu, když je její čitatel nula, takže nastavte N (x) = 0. V příkladu 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminant této kvadratiky je b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Protože diskriminant je záporný, N (x) a následně f (x) nemá žádné skutečné kořeny. Graf nikdy nepřekročí osu x. Pokud byly nalezeny nějaké nuly, přidejte tyto body do grafu.
Krok 4. Najděte svislé asymptoty
K vertikální asymptotě dochází, když je jmenovatel nula. Nastavení 4 x + 2 = 0 dává svislou čáru x = -1/2. Graficky znázorněte každou svislou asymptotu světlou nebo přerušovanou čarou. Pokud nějaká hodnota x činí N (x) = 0 a D (x) = 0, může, ale nemusí existovat vertikální asymptota. To je vzácné, ale podívejte se na tipy, jak se s tím vypořádat, pokud k tomu dojde.
Krok 5. Podívejte se na zbývající část rozdělení v kroku 2
Kdy je kladný, záporný nebo nulový? V příkladu je čitatel zbytku 17, což je vždy kladné. Jmenovatel 4 x + 2 je kladný vpravo od svislé asymptoty a záporný vlevo. To znamená, že graf se blíží lineární asymptotě shora pro velké kladné hodnoty x a zespodu pro velké záporné hodnoty x. Protože 17/(8 x + 4) nemůže být nikdy nula, tento graf nikdy neprotíná přímku y = (1/2) x - (7/4). Nepřidávejte nic do grafu právě teď, ale tyto závěry si poznamenejte na později.
Krok 6. Najděte místní extrémy
Místní extrém může nastat, kdykoli N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. V příkladu N '(x) = 4 x - 6 a D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Rozšiřování, kombinování výrazů a dělení 4 listy x 2 + x - 4 = 0. Kvadratický vzorec ukazuje kořeny blízko x = 3/2 a x = -5/2. (Ty se liší přibližně o 0,06 od přesných hodnot, ale náš graf nebude dostatečně přesný, aby se staral o tuto úroveň podrobností. Volba slušné racionální aproximace usnadňuje další krok.)
Krok 7. Najděte hodnoty y každého lokálního extrému
Připojte hodnoty x z předchozího kroku zpět do původní racionální funkce a najděte odpovídající hodnoty y. V příkladu f (3/2) = 1/16 af (-5/2) = -65/16. Přidejte tyto body (3/2, 1/16) a (-5/2, -65/16) do grafu. Jelikož jsme se v předchozím kroku přiblížili, nejedná se o přesná minima a maxima, ale jsou si pravděpodobně blízká. (Víme (3/2, 1/16) je velmi blízko místnímu minimu. Od kroku 3 víme, že y je vždy kladné, když x> -1/2 a našli jsme hodnotu tak malou jako 1/16, tak alespoň v tomto případě je chyba pravděpodobně menší než tloušťka čáry.)
Krok 8. Spojte tečky a plynule rozšiřujte graf ze známých bodů na asymptoty a dávejte pozor, abyste se k nim přiblížili ze správného směru
Dávejte pozor, abyste nepřekročili osu x, s výjimkou bodů již nalezených v kroku 3. Nepřekračujte horizontální nebo lineární asymptotu kromě bodů již nalezených v kroku 5. Neměňte ze šikmé vzhůru na šikmou dolů s výjimkou extrém nalezený v předchozím kroku.
Video - Používáním této služby mohou být některé informace sdíleny s YouTube
Tipy
- Některé z těchto kroků mohou zahrnovat řešení polynomu vysokého stupně. Pokud nemůžete najít přesná řešení pomocí faktorizace, vzorců nebo jiných prostředků, odhadněte řešení pomocí numerických technik, jako je Newtonova metoda.
- Pokud budete postupovat podle pokynů v pořadí, obvykle není nutné použít testy druhých derivací nebo podobné potenciálně komplikované metody k určení, zda jsou kritické hodnoty lokální maxima, lokální minima nebo žádné. Zkuste nejprve použít informace z předchozích kroků a trochu logiky.
- Pokud se to pokoušíte provést pouze metodami předběžného výpočtu, můžete kroky týkající se hledání lokálních extrémů nahradit výpočtem několika dalších (x, y) uspořádaných párů mezi každou dvojicí asymptot. Alternativně, pokud vás nezajímá, proč to funguje, není důvod, proč by student předkalkula nemohl vzít derivaci polynomu a vyřešit N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Ve vzácných případech může mít čitatel a jmenovatel společný nekonstantní faktor. Pokud budete postupovat podle kroků, zobrazí se to jako nula a svislá asymptota na stejném místě. To není možné a co se ve skutečnosti stane, je jedna z následujících:
- Nula v N (x) má vyšší multiplicitu než nula v D (x). Graf f (x) se v tomto bodě blíží nule, ale není zde definován. Ukažte to otevřeným kruhem kolem bodu.
- Nula v N (x) a nula v D (x) mají stejnou multiplicitu. Graf pro tuto hodnotu x přistupuje k nějakému nenulovému bodu, ale není tam definován. Znovu to naznačte otevřeným kruhem.
- Nula v N (x) má nižší multiplicitu než nula v D (x). Zde je vertikální asymptota.
