Jak vykreslit kvadratickou rovnici: 10 kroků (s obrázky)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-02-02 02:06

Při grafu kvadratické rovnice formuláře sekera² + bx + c nebo a (x - h)² + k dejte hladkou křivku ve tvaru U nebo obrácenou křivku ve tvaru U nazývanou parabola. Vytvoření grafu v kvadratické rovnici je otázkou nalezení jejího vrcholu, směru a často i jeho průsečíků x a y. V případě relativně jednoduchých kvadratických rovnic může také stačit připojit rozsah hodnot x a vykreslit křivku na základě výsledných bodů. Začněte viz krok 1 níže.

Kroky

Krok 1. Určete, jakou formu kvadratické rovnice máte

Kvadratickou rovnici lze zapsat ve třech různých formách: standardní forma, vrcholová forma a kvadratická forma. K vykreslení kvadratické rovnice můžete použít jakýkoli formulář; proces vykreslování každého z nich je mírně odlišný. Pokud děláte domácí úkol, obvykle dostanete problém v jedné z těchto dvou forem - jinými slovy, nebudete si moci vybrat, takže je nejlepší porozumět oběma. Dvě formy kvadratické rovnice jsou:

• Standardní forma.

  V této podobě je kvadratická rovnice zapsána jako: f (x) = ax² + bx + c kde a, b, a c jsou reálná čísla a a není rovno nule.

  Například dvě kvadratické rovnice standardního tvaru jsou f (x) = x² + 2x + 1 af (x) = 9x² + 10x -8.

• Vrcholová forma.

  V této podobě je kvadratická rovnice zapsána jako: f (x) = a (x - h)² + k kde a, h a k jsou reálná čísla a a se nerovná nule. Forma vrcholu je pojmenována tak, protože h a k vám přímo poskytne vrchol (centrální bod) vaší paraboly v bodě (h, k).

  Dvě rovnice tvaru vrcholu jsou f (x) = 9 (x - 4)² + 18 a -3 (x - 5)² + 1

• K vykreslení jednoho z těchto typů rovnic musíme nejprve najít vrchol paraboly, což je centrální bod (h, k) na „špičce“křivky. Souřadnice vrcholu ve standardní formě jsou dány vztahem: h = -b/2a a k = f (h), zatímco ve vrcholové formě jsou h a k specifikovány v rovnici.

Krok 2. Definujte proměnné

Aby bylo možné vyřešit kvadratický problém, je obvykle nutné definovat proměnné a, b, ac (nebo a, h, k). Průměrný problém s algebrou vám poskytne kvadratickou rovnici s vyplněnými proměnnými, obvykle ve standardní formě, ale někdy ve vrcholové formě.

• Například pro standardní tvarovou rovnici f (x) = 2x² + 16x + 39, máme a = 2, b = 16, a c = 39.
• Pro rovnici tvaru vrcholu f (x) = 4 (x - 5)² + 12, máme a = 4, h = 5, a k = 12.

Krok 3. Vypočítejte h

Ve vrcholných tvarových rovnicích je vaše hodnota pro h již dána, ale ve standardních tvarových rovnicích je nutné ji vypočítat. Pamatujte, že pro standardní tvarové rovnice h = -b/2a.

• V našem standardním příkladu (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Při řešení zjistíme, že h = - 4.
• V našem příkladu vrcholů (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), víme, že h = 5, aniž bychom museli počítat.

Krok 4. Vypočítejte k

Stejně jako u h, k je již známé v rovnicích vrcholů. U standardních tvarových rovnic pamatujte na to, že k = f (h). Jinými slovy, můžete najít k nahrazením každé instance x ve vaší rovnici hodnotou, kterou jste právě našli pro h.

• V našem standardním příkladu jsme určili, že h = -4. Abychom našli k, řešíme naši rovnici s hodnotou pro h nahrazující x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Krok 7.

• V našem příkladu vrcholné formy opět známe hodnotu k (což je 12), aniž bychom museli dělat jakoukoli matematiku.

Krok 5. Vykreslete svůj vrchol

Vrcholem vaší paraboly bude bod (h, k) - h určuje souřadnici x, zatímco k určuje souřadnici y. Vrchol je ústředním bodem vaší paraboly - buď spodní část „U“, nebo samotný vrchol vzhůru nohama „U“. Znalost vrcholu je nezbytnou součástí vykreslení přesné paraboly - ve škole je často zadání vrcholu požadovanou součástí otázky.

• V našem standardním příkladu bude náš vrchol na (-4, 7). Naše parabola tedy dosáhne vrcholu 4 mezery nalevo od 0 a 7 mezer nad (0, 0). Tento bod bychom měli vykreslit do našeho grafu a ujistit se, že označíme souřadnice.
• V našem příkladu vrcholové formy je náš vrchol na (5, 12). Měli bychom vykreslit bod o 5 mezer vpravo a 12 mezer nad (0, 0).

Krok 6. Nakreslete osu paraboly (volitelně)

Osa symetrie paraboly je čára procházející jejím středem, která ji dokonale rozděluje na polovinu. Přes tuto osu bude levá strana paraboly zrcadlit pravou stranu. Pro kvadratiky tvarové sekery² + bx + c nebo a (x - h)² + k, osa je přímka rovnoběžná s osou y (jinými slovy dokonale svislá) a procházející vrcholem.

V případě našeho standardního příkladu je osou čára rovnoběžná s osou y procházející bodem (-4, 7). Ačkoli to není součástí samotné paraboly, lehké označení této čáry na vašem grafu vám nakonec může pomoci vidět, jak se parabola křiví symetricky

Krok 7. Najděte směr otevírání

Poté, co jsme zjistili vrchol a osu paraboly, musíme dále vědět, zda se parabola otevírá nahoru nebo dolů. Naštěstí je to snadné. Pokud je „a“kladné, parabola se otevře směrem nahoru, zatímco pokud „a“je záporná, parabola se otevře směrem dolů (tj. Otočí se vzhůru nohama).

• Pro náš standardní formulář (f (x) = 2x² + 16x + 39), víme, že máme parabolu otevírající se nahoru, protože v naší rovnici a = 2 (kladné).
• Pro náš příklad vrcholové formy (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), víme, že máme také parabolu otevírající se nahoru, protože a = 4 (kladné).

Krok 8. V případě potřeby najděte a zakreslete x zachycení

Při školní práci budete často požádáni, abyste našli x-zachycení paraboly (což jsou jeden nebo dva body, kde se parabola setkává s osou x). I když je nenajdete, tyto dva body mohou být neocenitelné pro kreslení přesné paraboly. Ne všechny paraboly však mají zachycení x. Pokud má vaše parabola vrchol otevíraný nahoru a má vrchol nad osou x nebo pokud se otevírá směrem dolů a má vrchol pod osou x, nebude mít žádné x zachycení. Jinak vyřešte své x zachycení jednou z následujících metod:

• Jednoduše nastavte f (x) = 0 a vyřešte rovnici. Tato metoda může fungovat pro jednoduché kvadratické rovnice, zejména ve vrcholové formě, ale u komplikovanějších bude mimořádně obtížná. Příklad viz níže

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 jsou x-zachycení paraboly.

• Faktor vaší rovnice. Několik rovnic v ose² + bx + c formulář lze snadno zapracovat do tvaru (dx + e) (fx + g), kde dx × fx = ax²(dx × g + fx × e) = bx a e × g = c. V tomto případě jsou vaše x průsečíky hodnoty pro x, které tvoří buď výraz v závorkách = 0. Například:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • V tomto případě je váš jediný x průsečík -1, protože nastavení x rovno -1 způsobí, že jeden z faktorizovaných výrazů v závorkách bude roven 0.

• Použijte kvadratický vzorec. Pokud nemůžete snadno vyřešit své x zachycení nebo faktor vaší rovnice, použijte speciální rovnici nazývanou kvadratický vzorec navrženou právě pro tento účel. Pokud to ještě není, zadejte svou rovnici do tvaru sekera² + bx + c, pak připojte a, b, a c do vzorce x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Všimněte si, že to často dává dvě odpovědi pro x, což je v pořádku - to jen znamená, že vaše parabola má dva x zachycení. Příklad viz níže:

  • -5x² + 1x + 10 se zapojí do kvadratického vzorce následovně:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) a (-15,18/-10). Zachycení x paraboly je přibližně x = - 1.318 a 1.518
  • Náš předchozí příklad standardního formuláře, 2x² + 16x + 39 se zapojí do kvadratického vzorce následovně:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Protože najít druhou odmocninu záporného čísla je nemožné, víme to žádné x zachycení existují pro tuto konkrétní parabolu.

Krok 9. Pokud je to nutné, najděte a vykreslete zachycení y

Ačkoli často není nutné najít průsečík y rovnice (bod, ve kterém parabola prochází osou y), nakonec to možná budete muset, zvláště pokud jste ve škole. Tento proces je poměrně snadný - stačí nastavit x = 0, poté vyřešit svou rovnici pro f (x) nebo y, což vám poskytne hodnotu y, při které vaše parabola prochází osou y. Na rozdíl od x interceptů může mít standardní paraboly pouze jeden y -intercept. Poznámka - pro rovnice standardních tvarů je průsečík y na y = c.

• Například známe naši kvadratickou rovnici 2x² + 16x + 39 má průsečík y na y = 39, ale lze jej také najít následovně:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Průsečík y paraboly je na y = 39.

    Jak bylo uvedeno výše, průsečík y je na y = c.

• Naše rovnice tvaru vrcholu 4 (x - 5)² + 12 má průsečík y, který lze nalézt následovně:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Průsečík y paraboly je na y = 112.

Krok 10. V případě potřeby zakreslete další body a poté grafujte

Nyní byste měli mít vrchol, směr, x intercept (s) a případně y y intercept pro vaši rovnici. V tomto okamžiku se můžete buď pokusit nakreslit svou parabolu pomocí bodů, které máte jako vodítko, nebo můžete najít více bodů, které vaši parabolu „vyplní“, aby křivka, kterou nakreslíte, byla přesnější. Nejjednodušší způsob, jak toho dosáhnout, je jednoduše připojit několik hodnot x na obě strany vrcholu a poté tyto body vykreslit pomocí hodnot y, které získáte. Učitelé často vyžadují, abyste před nakreslením paraboly získali určitý počet bodů.

• Vraťme se k rovnici x² + 2x + 1. Už víme, že jeho jediný x průsečík je v x = -1. Protože se dotýká zachycení x pouze v jednom bodě, můžeme usoudit, že jeho vrchol je jeho x intercept, což znamená, že jeho vrchol je (-1, 0). Pro tuto parabolu máme ve skutečnosti pouze jeden bod - ne dost na to, abychom nakreslili dobrou parabolu. Pojďme najít několik dalších, abychom zajistili, že nakreslíme přesný graf.

  • Zjistíme hodnoty y pro následující hodnoty x: 0, 1, -2 a -3.
  • Pro 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Náš bod je (0, 1).

  • Pro 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Náš bod je (1, 4).

  • Pro -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Náš bod je (-2, 1).

  • Pro -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Náš bod je (-3, 4).

  • Vykreslete tyto body do grafu a nakreslete křivku ve tvaru písmene U. Všimněte si, že parabola je dokonale symetrická - když vaše body na jedné straně paraboly leží na celých číslech, obvykle si můžete ušetřit práci jednoduchým odrazem daného bodu přes osu symetrie paraboly a najít odpovídající bod na druhé straně paraboly.

Video - Používáním této služby mohou být některé informace sdíleny s YouTube

Tipy

• Všimněte si, že v f (x) = ax² + bx + c, je -li b nebo c rovno nule, tato čísla zmizí. Například 12x² + 0x + 6 se změní na 12x² + 6, protože 0x je 0.
• Zaokrouhlujte čísla nebo použijte zlomky, jak vám řekne váš učitel algebry. To vám pomůže správně vykreslit kvadratické rovnice.